Formelsammlung

Foto-Objektive bestehen zwar aus mehreren Linsen. Zusammen kann man diese jedoch wie eine einzige betrachten. Die Gesetzmäßigkeiten der geometrischen Optik kann man auf ein Objektiv genauso anwenden wie auf eine einzige Linse.

Das folgende Diagramm zeigt die Abbildung eine Punktes durch eine Sammellinse auf dessen Bild. Die Linse liegt auf der Hauptebene H und senkrecht zur optischen Achse O. Die beiden Brennpunkte F und F' liegen links und rechts der Linse im Abstand f, der Brennweite. Der Abstand von Objekt zu Hauptachse ist die Objektweite g, der Abstand von Bild zu Hauptachse die Bildweite b. Der fotografische Abstand d ist der Abstand zwischen Objekt und Bild, also g+b.

Inhalt

  1. Bildwinkel
  2. Objektfeld
  3. Abbildungsmaßstab
  4. Vergrößerung
  5. Schärfentiefe
  6. Hyperfokale Entfernung
  7. Brechkraft
  8. Brennweite eines Objektivs mit Nahlinse
  9. Abbildungsmaßstab eines Objektivs mit Nahlinse
  10. Rechner

Bildwinkel

Der Bildwinkel eines Objektivs hängt von der Brennweite und von der Größe des Bildes ab. In Herstellerangaben ist meist der diagonale Bildwinkel angegeben. Die zugehörige Formel lautet:
α = 2 × arctan(B / (2 × f))
mit:
α
Bildwinkel
B
Bildgröße
f
Brennweite
Aufgelöst nach f ergibt sich:
f = B / (2 × tan(α / 2))
Manchmal ist auch der horizontale Bildwinkel angegeben, oder man möchte eine Größe in eine andere umrechnen. Hier helfen folgende Formeln:
Diagonale Bildgröße:   B = √( Bx² + By² )
Horizontale Bildgröße: B = Bx
Vertikale Bildgröße:   B = By
mit:
Bx
horizontale Bildgröße
By
vertikale Bildgröße
Hier noch ein paar vorberechnete Werte für verschiedene Filmformate:

Bildformatdiagonalhorizontalvertikal
35 mm43 mm36 mm24 mm
6×4.569 mm56 mm41 mm
6×679 mm56 mm56 mm
6×786 mm66 mm56 mm

Durch diese Formeln wird auch klar, warum für verschiede Bildformate Objektive mit verschiedenen Brennweiten als „Normalobjektive” gelten. Wenn man die Bildwinkel ausrechnet, so ergibt sich jeweils ein Wert von ca. 50°. Was diese verschiedenen „Normalobjektive” verbindet ist also der etwa gleiche Bildwinkel.

Objektfeld

Das Objektfeld ist die Größe (z. B. Breite) eines Objekts, das mit einem bestimmten Bildwinkel aus einer bestimmten Entfernung aufgenommen genau das Bild ausfüllen würde.
G = 2 × d × tan(α / 2)
mit:
G
Objektfeld
d
Abstand
α
Bildwinkel
Meistens interessiert hier das horizontale Objektfeld, also:
α = αhor

Abbildungsmaßstab

Abbildungsmaßstab ist das Verhältnis der Größen eines Objektes und seines Bildes auf dem Film, also:
A = B / G
Für 35 mm-Film entspricht so z. B. ein formatfüllendes Bild (also 36mm breit) eines ebenfalls 36 mm großen Objekts einem Abbildungsmaßstab von 1. Ein kleineres Bild ergibt einen Wert kleiner als 1. In der Fotografie wird dieser Wert meist als Bruch angegeben, also 1:1 statt 1 oder 1:2 statt 0,5.

Man kann oben die Formel für G einsetzen und so direkt mit Brennweite und Entfernung den Abbildungsmaßstab ausrechnen. Für kurze Entfernungen, also für typische Makro-Situationen, ergeben sich jedoch falsche Werte. Das hat folgende Gründe:

  1. Die Formel für G ist eigentlich nur eine Näherung für den wirklichen Zusammenhang und ist nur für große Entfernungen (also d >> f) genau genug.
  2. Viele moderne Objektive haben eine Innenfokusierung, und bei dieser verändert sich die Brennweite mit der eingestellen Entfernung. Auch dies macht sich stärker bei kurzen Entfernungen bemerkbar. f ist dann bei kurzen Entfernungen nicht mehr der nominelle Wert sondern ein kleinerer.

Beim Rechner unten ist die Berechnung exakt.

Vergrößerung

Die Vergrößerung wird meistens bei Ferngläsern und Spektiven angegeben. Die Vergrößerung ist einfach das Verhältnis zwischen dem Objektfeld mit Fernglas/Spektiv im Vergleich zum Objektfeld ohne Fernglas/Spektiv. Die Formel lautet:
V = Gf1 / Gf2
mit:
Gf1
Objektfeld mit „normaler” Brennweite
Gf2
Objektfeld mit „längerer” Brennweite
Manchmal möchte man die Vergrößerung auch für Teleobjektive ausrechnen, um z. B. die Vergrößerungswirkung eines Objektivs und eines Fernglases zu vergleichen. Wenn man in obige Formel die Formel für G einsetzt, ergibt sich nach einigen Umformungen der folgende einfache Zusammenhang:
V = f2 / f1
mit:
f1
„normale” Brennweite
f2
„längere” Brennweite
So ergibt sich beispielsweise für ein 400 mm Objektiv an einer 35 mm-Kamera (mit einer „normalen” Brennweite von 50 mm) eine Vergrößerung von 8, entspricht also etwa der eines 8-fach Fernglases.

Schärfentiefe

Wenn man die Kamera auf eine bestimmte Blende und Entfernung einstellt, dann gibt es einen Bereich um die eingestellte Entfernung, der als „scharf” angesehen werden kann. Dieser Enfernungsbereich heißt „Tiefenschärfe” oder auch „Schärfentiefe”. Die Schärfentiefe hängt vom Abbildungsmaßstab und der Blende ab. Der Abbildungsmaßstab hängt, wie gesehen, von der Brennweite und der Entfernung ab. Die Formeln zur Berechnung der Schärfentiefe sind:
Tv = c × F × d² / (f² + c × F × d)
Th = c × F × d² / (f² − c × F × d)
mit:
c
Durchmesser des Streuungskreis
F
Blendenzahl

Tv ist der Bereich vor dem Objekt, der scharf ist. Th ist der Bereich hinter dem Objekt, der scharf ist.

Der Parameter c ist der Durchmesser eines Kreises, zu dem ein scharfer Punkt des Objekts wird, wenn er unscharf abgebildet wird. Kreise kleiner als c werden als „scharfe” Abbildungen angesehen, und der Punkt ist daher im Schärfentiefebereich. Kreise größer als c werden als „unscharfe” Abbildungen angesehen, und der Punkt ist daher nicht im Schärfentiefebereich. Der Streuungskreis ist praktisch ein Schwellwert für die akzeptable Unschärfe. Strenggenommen ist nur die eingestellte Entfernungsebene wirklich scharf, alles davor oder dahinter ist mehr oder weniger unscharf. Deshalb ist der Wert von c eher willkürlich. Wenn es stärker auf die Schärfe ankommt, dann sollte c eher kleiner gewählt werden, ansonsten kann c auch größer gewählt werden. Es gibt auch eine Diskussion darüber, ob der Streuungskreis für unterschiedliche Filmformate unterschiedlich sein sollte. Die Befürworter sagen, dass man von größeren Formaten keine Abzüge mit so starken Vergrößerungen herstellt und daher der Streuungskreis größer sein kann. Die Gegner sagen, dass die Schärfentiefe nur vom Objektiv, der Blende und der Entfernung abhängt und nicht vom Filmformat (siehe Formel) und daher der Streuungskreis konstant sein soll.

Hyperfokale Entfernung

Wenn man bei einer gegebenen Blende die Entfernung auf die hyperfokale Entfernung einstellt, dann erhält man einen Schärfentiefebereich, der von etwa der halben hyperfokalen Entfernung bis Unendlich reicht. Dieser Schärfentiefebereich ist gleichzeitig der maximal große für diese Blende. Die Formel dafür lautet:
dh + Th = ∞
Wenn man die Formel für Th einsetzt und nach dh auflöst, dann erhält man:
dh = f² / (c × F)

Brechkraft

Die Brechkraft einer Linse (Einheit „Dioptrie”) ist umgekehrt proportional zur Brennweite, also

D = 1 / f

Eine Nahlinse mit +2 dpt hat also eine Brennweite von 500 mm.

Brennweite eines Objektivs mit Nahlinse

Eine Nahlinse (ggf. auch in Form eines Objektivs in Retrostellung) verändert die Brennweite des Gesamtsystems. Die Brechkraft der Nahlinse und die des Basisobjektivs addieren sich. Die resultierende Brechkraft berechnet sich wie folgt:

Dgesamt = Dbasis + Dnah
Ausgedrückt als Brennweite ist die Formel
1 / fgesamt = 1 / fbasis + 1 / fnah
↔ fgesamt = 1 / (1 / fbasis + Dnah)
(mit der Brennweite in Metern!)

Wenn Sie lieber in mm rechnen, einfach einen Faktor 1000 hinzufügen:

fgesamt = 1000 / (1000 / fbasis + Dnah)

Beispielsweise hat ein 100 mm-Objektiv mit einer +2 dpt Nahlinse eine Brennweite von 83 mm, d. h. sie wird durch die Nahlinse reduziert.

Aber wie kann ein Reduzieren der Brennweite den Abbildungsmaßstab vergrößern? Nun, der maximale Auszug des Objektivs bleibt unverändert. Wenn das Objektiv im obigen Beispiel einen Abbildungsmaßstab von 1:1 hat, dann hat es 100 mm Auszug. Wenn die Brennweite dann reduziert wird, dann ist der Auszug größer als die Brennweite, was erlaubt, das Objektiv auf kürzere Entfernung scharfzustellen und in einem Abbildungsmaßstab größer als 1:1 resultiert. Um den Abbildungsmaßstab zu erhöhen, genügt es also nicht, die Nahlinse aufzuschrauben, sondern man muss auch näher an das Motiv herangehen, und die Nahlinse ermöglicht dies lediglich.

Abbildungsmaßstab eines Objektivs mit Nahlinse

Der Abbildungsmaßstab eines Objektivs mit Nahlinse ist bei Unendlichstellung immer gleich. Er berechnet sich wie folgt:

A = fbasis / fnah
↔ A = fbasis × Dnah

Rechner

Brennweite (f) mm
Entfernung (d) m
Blende
Objektweite (g)4.949 m
Bildweite (b)0.051 m
Streuungskreis (c) mm
Schärfentiefe4.032 m–6.579 m (2.547 m)
Hyperfokale Entfernung20.83 m (10.42 m–∞)
Format
horizontalvertikaldiagonal
Bildgröße (B)23.5 mm15.7 mm28.26 mm
Objektgröße (G)2.303 m1.538 m2.769 m
Bildwinkel (α)26.45°17.85°31.56°
Abbildungsmaßstab (B/G)1:97.99 (0.01×)

Beispiele:

Makro-Objektiv 50 mm mit Scharfstellung über Auszugsverlängerung

Viele Hersteller bieten solche Objektive an, und viele davon können bis zum Maßstab 1:1 fokusiert werden. Die Scharfstellung erfolgt dabei ausschließlich über eine Verlängerung des Auszugs, d. h. das gesamte Paket der Einzellinsen wird von der Filmebene wegbewegt, und der Abstand der Linsen zueinander ändert sich nicht.

Mit dem Rechner können wir die Angaben im Datenblatt überprüfen. Wir wählen ein beliebiges Filmformat aus und geben für die Brennweite „50” und für die Entfernung „0,2” (die kürzeste Einstellmöglichkeit) ein. Es ergibt sich der erwartete Abbildungsmaßstab von 1:1. Wir erkennen auch, dass die Objektweite und Bildweite gleich und jeweils die Hälfte der Entfernung ist. Die Hauptachse dieses optischen Systems liegt also genau in der Mitte zwischen Objekt und Bild. Die Brennpunkte des Systems liegen jeweils 50 mm von der Hauptachse entfernt (daher auch „Brennweite”). Zwischen dem hinteren Brennpunkt und dem Bild ist dann nochmal 50 mm Platz. Dieser Platz ist der Auszug des Systems. Auszug und hintere Brennweite ergeben zusammen die Bildweite. Hier bestätigt sich die Faustformel „mit einem Auszug so lang wie die Brennweite erreicht man einen Abbildungsmaßstab von 1:1”.

Makro-Objektiv 100 mm mit Innenfokusierung

Viele Hersteller bieten Makroobjektive mit längerer Brennweite an. Diese werden jedoch meistens nicht über eine reine Auszugsverlängerung scharfgestellt, sondern (ggf. kombiniert) mit einer Innenfokusierung. Hier bewegen sich die Linsen nicht nur von der Filmebene weg, sondern sie verändern auch ihren Abstand untereinander. Der Vorteil ist, dass kein so langer Auszug benötigt wird. Der Nachteil ist, dass sich die tatsächliche Brennweite verkürzt, wenn man das Objektiv auf eine kürzere Entfernung stellt.

Wir überprüfen wieder die Angaben im Datenblatt eines Objektivs. Die Brennweite ist 100 mm, und die kürzestmögliche Entfernung ist 0,35 m. Dies sollte einen Abbildungsmaßstab von 1:1 ergeben. Der obige Rechner ermittelt aber einen viel größeren Maßstab. Daran erkennt man, dass die tatsächliche Brennweite bei dieser Entfernung kürzer als 100 mm ist. Wir können die Brennweite nun schrittweise korrigieren, bis sich wieder ein Abbildungsmaßstab von 1:1 ergibt. Wir landen dann bei einer Brennweite von ca. 87,5 mm. Das Objektiv hat also bei kürzester Entfernungseinstellung nicht 100 mm sondern nur 87,5 mm Brennweite.

Bitte beachten Sie, dass der Ergebniswert nicht exakt ist, wenn der obige Rechner verwendet wird. Der Wert zeigt aber an, dass die tatsächliche Brennweite kürzer wird, ist also qualitativ korrekt.

While photo lenses contain multiple lens elemens they can be viewed as a single optical element. The laws of geometric optics can be applied to a lens like they can be applied to a single element...